Produit dénombrable d'espaces métriques
\(X=\prod_{i\in I}X_i\) avec \(I\) dénombrable et \(\forall i\in I\), \((X_i,d_i)\) est un espace métrique.
- ses éléments sont de la forme \((x_i)_{i\in I}\)
- distances :
- \(\delta_\infty:((x_i)_{i\in I},(x'_i)_{i\in I})\longmapsto\) \(\displaystyle\sup_{i\in I}\min(\varepsilon_i,d_i(x_i,x'_i))\) avec \(\lim_{i\to+\infty}\varepsilon_i=0\)
- \(\delta_1:((x_i)_{i\in I},(x'_i)_{i\in I})\longmapsto\) \(\displaystyle\sum_{i\in I}\eta_i\min(1,d_i(x_i,x_i'))\) avec \(\displaystyle\sum_{i\in I}\eta_i\lt +\infty\)
- ces distances définissent la même topologie sur \(X\)
- ⚠ ces distances ne sont pas équivalentes ⚠
- on appelle la topologie engendrée topologie produit, topologie de la convergence simple
- la projection \(\eta_i:X\to X_i\) est continue
- si \(\forall i\in I\), \((X_i,d_i)\) est compact, alors \((X,\delta_\infty)\) et \((X,d_1)\) sont compacts
- pour \(F\subset X\), on a l'équivalence :
- \(F\) est compacte dans \(X\)
- \(F\) est fermée dans \(X\) et \(\forall i\in I,\eta_i(F)\) est compacte
Espace métrique,
Projection sur un convexe fermé,
Compacité
2
